Sensory SystemsSensory Systems0235-00923034-5936Russian Academy of Science10.31857/S0235009224020059Recognition of projectively transformed planar figures. XVII. Using plucker’s reciprocity theorem to describe ovals with an external fixed pointРаспознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVII. Привлечение теоремы взаимности Плюккера для описания овалов с внешней фиксированной точкойNikolaevP. P.НиколаевП. П. nikol@iitp.ruИнститут проблем передачи информации им А. А. Харкевича РАН; ООО “Смарт Энджинс Сервис”A. A. Kharkevich Institute of Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences; Smart Engines Service LLC150620243826293

An approach to a projectively invariant description of a family of ovals (o) in scenes where the figure o is given in a composition with an external point, P, fixed in its plane is considered, and in cases where o has hidden symmetries (central or axial), the position of P is not specified in the form of an additional condition defining the scene, but can be calculated through the symmetry parameters. The invariant description, as a general universal method for numerical processing of compositions like “o + ext-P”, is proposed to be implemented in the form of Wurf mappings.The method uses the apparatus of dual pairs (DP) and wurf functions,previously developed and described by us, which are a product of decomposition of statements of the reciprocity theorem proposed by J. Plьcker to describe the properties of quadratic curves (conics).Illustrated examples of special cases of the “o + ext-P”composition are considered and discussed, actually completing the topic of studying the scenes like “an oval and a linear element of the plane”, which are classified according to the types of symmetry of o.

Рассмотрен подход к проективно инвариантному описанию семейства овалов (о) в сценах, где фигура о задана в композиции с фиксированной в ее плоскости внешней точкой P, причем в случаях, когда о обладает скрытыми симметриями (центральной либо осевой), позиция P не задается в виде дополнительного условия, комплектующего сцену, а может быть вычислена через параметры симметрии. Инвариантное описание, как общий универсальный метод численной обработки композиций вида “о + ext-P”, предлагается реализовать в виде вурф-отображений. Метод привлекает разработанный и описанный нами аппарат дуальных пар (ДП) и вурф-функций, представляющих собой продукт декомпозиции утверждений теоремы взаимности, предложенной Ю. Плюккером для описания свойств квадратичных кривых (коник). Модельные иллюстрированные примеры частных случаев композиции “о + ext-P” рассмотрены и обсуждены, фактически завершая тему исследования сцен вида “овал и линейный элемент плоскости”, классифицируемых по типам симметрии о.

овал центр и ось симметрии плюккеровы полюс и поляра дуальная пара гармонический вурф плоскостной вурф вурф-функция дескриптор кривая Ламеовал центр и ось симметрии плюккеровы полюс и поляра дуальная пара гармонический вурф плоскостной вурф вурф-функция дескриптор кривая ЛамеАкимова Г.П., Богданов Д.С., Куратов П.А. Задача проективно инвариантного описания овалов с неявно выраженной центральной и осевой симметрией и принцип двойственности Плюккера. Труды ИСА РАН. 2014. Т. 64. № 1. С. 75–83.Балицкий А.М., Савчик А.В., Гафаров Р.Ф., Коноваленко И.А. О проективно инвариантных точках овала с выделенной внешней прямой. Проблемы передачи информации. 2017. Т. 53. № 3. С. 84–89. https://doi.org/10.1134/S0032946017030097Глаголев Н.А. Проективная геометрия. М. Высш. шк., 1963. 344 с.Депутатов В.Н. К вопросу о природе плоскостных вурфов. Математический сборник. 1926. Т. 33. № 1. С. 109–118.Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. Сб. Современная математика. Кн. 2-я. М., Л.: Гос. технико-теор. изд-во, 1933. 72 с.Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 699 с.Николаев П.П. Метод проективно инвариантного описания овалов с осевой либо центральной симметрией. Информационные технологии и вычислительные системы. 2014. № 2. C. 46–59.Николаев П.П. О задаче проективно инвариантного описания овалов с симметриями трех родов. Вестник РФФИ. 2016. Т. 92. № 4. С. 38–54. DOI: 10.22204/2410-4639-2016-092-04-38-54Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. II. Овал в композиции с дуальным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2011. Т. 25. № 3. С. 245–266.Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. VIII. О вычислении ансамбля ротационной корреспонденции овалов с симметрией вращения. Сенсорные системы. 2015. Т. 29. № 1. C. 28–55.Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. X. Методы поиска октета инвариантных точек контура овала – итог включения развитой теории в схемы его описания. Сенсорные системы. 2017. Т. 31. № 3. С. 202–226.Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XII. О новых методах проективно инвариантного описания овалов в композиции с линейным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2019. Т. 33. № 1. С. 15–29. https://doi.org/10.1134/S0235009219030077Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XV. Методы поиска осей и центров овалов с симметриями, использующие сет дуальных пар либо триады чевиан. Сенсорные системы. 2021. Т. 35. № 1. С. 55–78. https://doi.org/10.31857/S0235009221010054Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVI. Октет проективно стабильных вершин овала и новые методы эталонного его описания, использующие октет. Сенсорные системы. 2022. Т. 36. № 1. С. 61–89. https://doi.org/10.31857/S023500922201005XСавелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Гос. изд-во физико-матем. лит-ры, 1960. 293 с.Савчик А.В., Николаев П.П. Теорема о пересечении T- и H-поляр. Информационные процессы. 2016. Т. 16. № 4. C. 430–443.Brugalle E. Symmetric plane curves of degree 7: Pseudoholomorphic and algebraic classifications. Journal fur Die Reine und Angewandte Mathematic (Crelles Journal). 2007. V. 612. P. 1–38. https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.086Carlsson S. Projectively invariant decomposition and recognition of planar shapes. International Journal of Computer Vision. 1996. V. 17(2). P. 193–209. https://doi.org/10.1007/BF00058751Faugeras O. Cartan’s moving frame method and its application to the geometry and evolution of curves in the euclidean, affine and projective planes. Joint European-US Workshop on Applications of Invariance in Computer Vision. Berlin, Heidelberg. Springer, 1993. P. 9–46. https://doi.org/10.1007/3-540-58240-1_2Gardner M. Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York. Vintage Press, 1977. 240–254 p.Hann C.E., Hickman M.S. Projective curvature and integral invariants. Acta Applicandae Mathematica. 2002. V. 74(2). P. 177–193. https://doi.org/10.1023/A:1020617228313Hoff D., Olver P.J. Extensions of invariant signatures for object recognition. Journal of mathematical imaging and vision. 2013. V. 45. P. 176–185. https://doi.org/10.1007/s10851-012-0358-7Itenberg I.V., Itenberg V.S. Symmetric sextics in the real projective plane and auxiliary conics. Journal of Mathematical Sciences. 2004. V. 119(1). P. 78–85. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000008743.36321.72Lebmeir P., Jurgen R.-G. Rotations, translations and symmetry detection for complexified curves. Computer Aided Geometric Design. 2008. V. 25. P. 707–719. https://doi.org/10.1016/j.cagd.2008.09.004Musso E., Nicolodi L. Invariant signature of closed planar curves. Journal of mathematical imaging and vision. 2009. V. 35(1). P. 68–85. https://doi.org/10.1007/s10851-009-0155-0Olver P.J. Geometric foundations of numerical algorithms and symmetry. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 2001. V. 11. P. 417–436. https://doi.org/10.1007/s002000000053Sanchez-Reyes J. Detecting symmetries in polynomial Bezier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. V. 288. P. 274–283. https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.04.025